वर्ग समीकरण (Quadratic Equation):

वर्ग समीकरण हे एक गणितीय समीकरण आहे जे खालील सामान्य स्वरूपात दर्शविले जाते:

ax² + bx + c = 0

येथे,

• a, b, आणि c हे स्थिरांक आहेत, आणि a ≠ 0.
• x हे अज्ञातVariable आहे.

उदाहरण:

3x² + 4x + 5 = 0 हे एक वर्ग समीकरण आहे.

वर्ग समीकरणाची मुळे (Roots of the Quadratic Equation):

वर्ग समीकरणाची मुळे म्हणजे x ची ती मूल्ये ज्यासाठी समीकरण 0 होते. या मुळांना समीकरणाचे समाधान देखील म्हणतात.

वर्ग समीकरणाची मुळे काढण्यासाठी खालील पद्धती वापरल्या जातात:

1. अवयव पद्धती (Factorization Method): या पद्धतीत, समीकरणाचे अवयव पाडले जातात आणि नंतर प्रत्येक अवयव 0 च्या बरोबर मानून x ची मूल्ये काढली जातात.
2. वर्ग पूर्ण करण्याची पद्धत (Completing the Square Method): या पद्धतीत, समीकरणाला अशा स्वरूपात रूपांतरित केले जाते की ते पूर्ण वर्ग बनते, आणि नंतर x ची मूल्ये काढली जातात.
3. सूत्र पद्धती (Formula Method): या पद्धतीत, खालील सूत्र वापरून थेट मुळे काढली जातात:

x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a

या सूत्रात, √(b² - 4ac) या भागाला 'discriminant' (Δ) म्हणतात, जो मुळांचे स्वरूप ठरवतो:

• जर Δ > 0 असेल, तर दोन भिन्न आणि वास्तव (real) मुळे असतात.
• जर Δ = 0 असेल, तर दोन समान आणि वास्तव मुळे असतात.
• जर Δ < 0 असेल, तर मुळे काल्पनिक (imaginary) असतात.

वर्ग समीकरणांचे उपयोग:

वर्ग समीकरणांचा उपयोग भौतिकशास्त्र, अभियांत्रिकी, अर्थशास्त्र आणि इतर अनेक क्षेत्रांमध्ये समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी होतो.