समीकरणे

उत्तर: श्यामजवळ कोंबड्या ३२ आहेत.

स्पष्टीकरण:

• बकऱ्यांची संख्या x मानू.
• कोंबड्यांची संख्या 2x होईल, कारण ती बकऱ्यांच्या दुप्पट आहे.
• बकऱ्यांचे पाय 4x (प्रत्येक बकरीला 4 पाय असल्याने)
• कोंबड्यांचे पाय 4x (प्रत्येक कोंबडीला 2 पाय असल्याने)
• एकूण पाय 96 आहेत.
• म्हणून, समीकरण: 4x + 4x = 96
• 8x = 96
• x = 96 / 8 = 12 (बकऱ्यांची संख्या)
• कोंबड्यांची संख्या 2x = 2 * 12 = 24

पायऱ्या:

1. बकऱ्या = x
2. कोंबड्या = 2x
3. 4x + 2(2x) = 96
4. 8x = 96
5. x = 12
6. कोंबड्या = 2 * 12 = 24

अंतिम उत्तर: श्यामकडे २४ कोंबड्या आहेत.

टीप: उत्तरामध्ये सुधारणा करण्यात आली आहे.

या गणिताचे उत्तर काढण्यासाठी आपण समीकरणे वापरू शकतो.

समजा:

• दोन चाकी सायकलची संख्या = x
• तीन चाकी सायकलची संख्या = y

दिलेल्या माहितीनुसार समीकरणे:

1. x + y = 40 (हँडलची संख्या)
2. 2x + 3y = 104 (चाकांची संख्या)

समीकरण 1 वापरून x ची किंमत काढू:

x = 40 - y

आता x ची किंमत समीकरण 2 मध्ये टाकू:

2(40 - y) + 3y = 104

80 - 2y + 3y = 104

y = 104 - 80

y = 24

आता y ची किंमत समीकरण 1 मध्ये टाकू:

x + 24 = 40

x = 40 - 24

x = 16

उत्तर:

तीन चाकी सायकलची संख्या 24 आहे आणि दोन चाकी सायकलची संख्या 16 आहे.

तुमच्या प्रश्नाचे उत्तर खालीलप्रमाणे:

वर्ग समीकरण (Quadratic Equation):

वर्ग समीकरण हे एक गणितीय समीकरण आहे जे खालील सामान्य स्वरूपात दर्शविले जाते:

ax² + bx + c = 0

येथे,

• a, b, आणि c हे स्थिरांक आहेत, आणि a ≠ 0.
• x हे अज्ञातVariable आहे.

उदाहरण:

3x² + 4x + 5 = 0 हे एक वर्ग समीकरण आहे.

वर्ग समीकरणाची मुळे (Roots of the Quadratic Equation):

वर्ग समीकरणाची मुळे म्हणजे x ची ती मूल्ये ज्यासाठी समीकरण 0 होते. या मुळांना समीकरणाचे समाधान देखील म्हणतात.

वर्ग समीकरणाची मुळे काढण्यासाठी खालील पद्धती वापरल्या जातात:

1. अवयव पद्धती (Factorization Method): या पद्धतीत, समीकरणाचे अवयव पाडले जातात आणि नंतर प्रत्येक अवयव 0 च्या बरोबर मानून x ची मूल्ये काढली जातात.
2. वर्ग पूर्ण करण्याची पद्धत (Completing the Square Method): या पद्धतीत, समीकरणाला अशा स्वरूपात रूपांतरित केले जाते की ते पूर्ण वर्ग बनते, आणि नंतर x ची मूल्ये काढली जातात.
3. सूत्र पद्धती (Formula Method): या पद्धतीत, खालील सूत्र वापरून थेट मुळे काढली जातात:

x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a

या सूत्रात, √(b² - 4ac) या भागाला 'discriminant' (Δ) म्हणतात, जो मुळांचे स्वरूप ठरवतो:

• जर Δ > 0 असेल, तर दोन भिन्न आणि वास्तव (real) मुळे असतात.
• जर Δ = 0 असेल, तर दोन समान आणि वास्तव मुळे असतात.
• जर Δ < 0 असेल, तर मुळे काल्पनिक (imaginary) असतात.

वर्ग समीकरणांचे उपयोग:

वर्ग समीकरणांचा उपयोग भौतिकशास्त्र, अभियांत्रिकी, अर्थशास्त्र आणि इतर अनेक क्षेत्रांमध्ये समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी होतो.

 * 5/x - 3 = x^2: हे एक वर्गसमीकरण आहे कारण x चा सर्वात मोठा घात 2 आहे.

 * c(x + 5) = 2: हे वर्गसमीकरण नाही कारण x चा सर्वात मोठा घात 1 आहे.

 * pi - t = 2pi: हे वर्गसमीकरण नाही कारण x चा कोणताही पद नाही.

 * t/(x^2) * (c - 2) = x: हे वर्गसमीकरण नाही कारण x चा सर्वात मोठा घात 3 आहे.

निष्कर्ष:

 * केवळ 5/x - 3 = x^2 हेच एक वर्गसमीकरण आहे.

वर्गसमीकरण म्हणजे:

 * असे समीकरण ज्यामध्ये कोणत्याही चर (येथे x) चा सर्वात मोठा घात 2 असतो.

 * याचे सामान्य स्वरूप ax^2 + bx + c = 0 असे असते.

महत्वाचे:

 * कोणतेही समीकरण वर्गसमीकरण आहे की नाही हे पाहण्यासाठी आपल्याला त्यातील चरचा सर्वात मोठा घात शोधायचा असतो.

आशा आहे की हे उत्तर तुम्हाला समजले असेल. जर तुम्हाला अजून काही प्रश्न असतील तर विचारा.

दिलेले समीकरण 3/x - 4/y = 8 हे रेषीय समीकरण नाही.

स्पष्टीकरण:

उदाहरण:

ax + by = c हे रेषीय समीकरणाचे सामान्य रूप आहे, ज्यात a, b, आणि c ह्या स्थिरांक (constants) आहेत आणि x व y हे चल आहेत.

निष्कर्ष:

दिलेले समीकरण रेषीय समीकरण नाही कारण चल x आणि y हे छेदामध्ये आहेत.