प्रश्न 1: खालील त्रिकुटांमधील पायथागोरसची त्रिकुटे कोणती आहेत ते ओळखा.

1. (3, 5, 4)
2. (4, 9, 12)
3. (5, 12, 13)
4. (24, 70, 74)
5. (10, 24, 27)
6. (11, 60, 61)

उत्तर:

1. (3, 5, 4):
   3² + 4² = 5²
   9 + 16 = 25
   ∴ हे पायथागोरसचे त्रिकुट आहे.
2. (4, 9, 12):
   4² + 9² ≠ 12²
   16 + 81 ≠ 144
   ∴ हे पायथागोरसचे त्रिकुट नाही.
3. (5, 12, 13):
   5² + 12² = 13²
   25 + 144 = 169
   ∴ हे पायथागोरसचे त्रिकुट आहे.
4. (24, 70, 74):
   24² + 70² = 74²
   576 + 4900 = 5476
   ∴ हे पायथागोरसचे त्रिकुट आहे.
5. (10, 24, 27):
   10² + 24² ≠ 27²
   100 + 576 ≠ 729
   ∴ हे पायथागोरसचे त्रिकुट नाही.
6. (11, 60, 61):
   11² + 60² = 61²
   121 + 3600 = 3721
   ∴ हे पायथागोरसचे त्रिकुट आहे.

प्रश्न 2: आकृतीमध्ये, ∠MNP = 90°, रेख NG ⊥ रेख MP, MG = 9, GP = 4, तर NG काढा.

उत्तर:

त्रिकोण MNP मध्ये, रेख NG ⊥ रेख MP, म्हणून, त्रिकोण MNP हा काटकोन त्रिकोण आहे.

भूमितीच्या सिद्धांतानुसार, NG² = MG × GP

NG² = 9 × 4

NG² = 36

NG = 6

प्रश्न 3: आकृतीमध्ये, ∠QPR = 90°, रेख PS ⊥ रेख QR, QS = 8, SR = 12, तर PS काढा.

उत्तर:

त्रिकोण QPR मध्ये, रेख PS ⊥ रेख QR, म्हणून, त्रिकोण QPR हा काटकोन त्रिकोण आहे.

भूमितीच्या सिद्धांतानुसार, PS² = QS × SR

PS² = 8 × 12

PS² = 96

PS = √96 = 4√6

प्रश्न 4: आकृतीमध्ये, काही त्रिकोण दिलेले आहेत. त्या आधारावर विचारलेल्या प्रश्नांची उत्तरे द्या.

1. त्रिकोण PQR मध्ये, जर PQ = 8, QR = 6, तर PR काढा.
2. त्रिकोण RST मध्ये, जर RS = 6√3, ST = 6, तर RT काढा.

उत्तर:

1. त्रिकोण PQR मध्ये, पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार,
   PR² = PQ² + QR²
   PR² = 8² + 6²
   PR² = 64 + 36
   PR² = 100
   PR = 10
2. त्रिकोण RST मध्ये, पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार,
   RT² = RS² + ST²
   RT² = (6√3)² + 6²
   RT² = 108 + 36
   RT² = 144
   RT = 12