प्रमेय: जर f:R→R सतत असेल आणि सर्व x∈R साठी f(x)∈Q असेल, तर f स्थिर आहे.

उपपत्ती:

1. असे समजा की f स्थिर नाही आहे. त्यामुळे, असे x, y ∈ R अस्तित्वात आहेत की f(x) ≠ f(y).

2. कारण f(x) आणि f(y) परिमेय संख्या आहेत आणि f(x) ≠ f(y), त्यामुळे त्यांच्यामध्ये एक दुसरी परिमेय संख्या r अस्तित्वात आहे जसे की f(x) < r < f(y) किंवा f(y) < r < f(x).

3. आता, मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय (Intermediate Value Theorem) नुसार, x आणि y दरम्यान एक संख्या c अस्तित्वात आहे जसे की f(c) = r.
   मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय: जर f:[a,b]→R हे [a,b] वर सतत असेल आणि k ही f(a) आणि f(b) दरम्यानची कोणतीही संख्या असेल, तर एक संख्या c∈(a,b) अस्तित्वात आहे जसे की f(c)=k.
   (https://en.wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem)

4. परंतु r ही एक अपरिमेय संख्या आहे, त्यामुळे f(c) अपरिमेय आहे. हे गृहितकाला विरोध करते की सर्व x∈R साठी f(x)∈Q.

5. म्हणून, f स्थिर असणे आवश्यक आहे.