विश्लेषण
प्रमेय: जर f:R→R सतत असेल आणि सर्व x∈R साठी f(x)∈Q असेल, तर f स्थिर आहे.
उपपत्ती:
-
असे समजा की f स्थिर नाही आहे. त्यामुळे, असे x, y ∈ R अस्तित्वात आहेत की f(x) ≠ f(y).
-
कारण f(x) आणि f(y) परिमेय संख्या आहेत आणि f(x) ≠ f(y), त्यामुळे त्यांच्यामध्ये एक दुसरी परिमेय संख्या r अस्तित्वात आहे जसे की f(x) < r < f(y) किंवा f(y) < r < f(x).
-
आता, मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय (Intermediate Value Theorem) नुसार, x आणि y दरम्यान एक संख्या c अस्तित्वात आहे जसे की f(c) = r.
मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय: जर f:[a,b]→R हे [a,b] वर सतत असेल आणि k ही f(a) आणि f(b) दरम्यानची कोणतीही संख्या असेल, तर एक संख्या c∈(a,b) अस्तित्वात आहे जसे की f(c)=k.
(https://en.wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem) -
परंतु r ही एक अपरिमेय संख्या आहे, त्यामुळे f(c) अपरिमेय आहे. हे गृहितकाला विरोध करते की सर्व x∈R साठी f(x)∈Q.
-
म्हणून, f स्थिर असणे आवश्यक आहे.
ओवी हे मराठी लोक साहित्यातील एक लोकप्रिय काव्य प्रकार आहे. ओवी म्हणजे चार ओळींची रचना. ओवी गायली जाते, त्यामुळे ती सहज लक्षात राहते.
- ओव्या तोंडी परंपरेतून आलेल्या असल्यामुळे, त्यांचे संकलन करणे महत्त्वाचे आहे.
- ओव्यांचे संकलन करताना, त्या कोणत्या संदर्भात गायल्या जातात हे लक्षात घेणे आवश्यक आहे.
- ओव्या संकलित करताना, विविध स्त्रोतांचा वापर करणे आवश्यक आहे, जसे की जुनी पुस्तके, मासिके, वर्तमानपत्रे आणि लोकांकडून ऐकलेल्या ओव्या.
- ओवीचे विश्लेषण करताना, तिच्या भाषेचा, अर्थाचा आणि सामाजिक संदर्भाचा विचार करणे आवश्यक आहे.
- ओवीमध्ये वापरलेले अलंकार, प्रतिमा आणि प्रतीके यांचा अभ्यास करणे आवश्यक आहे.
- ओवी कोणत्या विशिष्ट समूहाने किंवा व्यक्तीने रचली आहे, याचा शोध घेणे आवश्यक आहे.
ओवी संकलनामुळे आणि विश्लेषणामुळे मराठी लोकसाहित्याचा ठेवा जतन केला जातो आणि त्यातून समाजाला मार्गदर्शन मिळते.
अधिक माहितीसाठी, आपण खालील संकेतस्थळांना भेट देऊ शकता:
महाराष्ट्रातील विधानसभा:
महाराष्ट्रामध्ये द्विगृही विधानमंडळ आहे, ज्यात विधानसभा (Legislative Assembly) आणि विधान परिषद (Legislative Council) यांचा समावेश होतो. विधानसभा हे कनिष्ठ सभागृह आहे, तर विधान परिषद हे वरिष्ठ सभागृह आहे. विधानसभेमध्ये जनतेतून थेट निवडलेले आमदार (MLA) असतात.
विधानसभेची रचना:
- सदस्य संख्या: विधानसभेची सदस्य संख्या 288 आहे.
- निवडणूक प्रक्रिया: विधानसभेचे सदस्य प्रत्यक्ष निवडणुकीद्वारे निवडले जातात. प्रत्येक मतदारसंघातील नागरिक मतदानाच्या माध्यमातून आपला प्रतिनिधी निवडतात.
- कार्यकाळ: विधानसभेचा कार्यकाल 5 वर्षांचा असतो.
- अधिवेशन: विधानसभेचे अधिवेशन नियमितपणे आयोजित केले जाते, ज्यात विविध विषयांवर चर्चा, विचार आणि निर्णय घेतले जातात.
महाराष्ट्रातील राजकीय गोंधळ (माझ्या शब्दांत):
महाराष्ट्राच्या राजकारणात अनेकवेळा अस्थिरता दिसून येते. राजकीय पक्ष आणि नेते यांच्यातील विचारधारा, सत्तास्पर्धा, आणि व्यक्तिगत महत्त्वाकांक्षा यामुळे अनेक गोंधळाचे प्रसंग निर्माण होतात.
गोंधळाची कारणे:
- पक्षीय मतभेद: अनेक राजकीय पक्ष एकमेकांच्या विरोधात उभे ठाकतात, ज्यामुळे एक स्थिर सरकार बनवणे कठीण होते.
- युती आणि आघाडी: सरकार स्थापन करण्यासाठी पक्षीय युती आणि आघाड्यांमध्ये सतत बदल होत असतात, ज्यामुळे राजकीय अस्थिरता निर्माण होते.
- आमदारांची भूमिका: काहीवेळा आमदार पक्षांतर करतात किंवा सरकारविरोधी भूमिका घेतात, ज्यामुळे सरकार अल्पमतात येते आणि राजकीय संकट निर्माण होते.
- वैयक्तिक महत्वाकांक्षा: नेत्यांमधील वैयक्तिक महत्वाकांक्षा आणि सत्ता मिळवण्याची लालसा यामुळे राजकीय गोंधळ वाढतो.
या सर्व कारणांमुळे महाराष्ट्राच्या राजकारणात अनेकवेळा गोंधळाची परिस्थिती निर्माण होते, ज्यामुळे विकास आणि प्रशासनावर नकारात्मक परिणाम होतो.