त्रिकोणमिती

एका त्रिकोणामध्ये जास्तीत जास्त एक विशाल कोन असू शकतो.

विशाल कोन म्हणजे 90 अंशांपेक्षा मोठा कोन. त्रिकोणाच्या तीनही कोनांची बेरीज 180 अंश असते. जर त्रिकोणामध्ये दोन विशाल कोन असतील, तर त्या दोन कोनांची बेरीजच 180 अंशांपेक्षा जास्त होईल, ज्यामुळे तिसऱ्या कोनासाठी अंश शिल्लक राहणार नाहीत.

उदाहरणार्थ:

• एका त्रिकोणामध्ये 100 अंशांचा एक विशाल कोन आहे.
• उर्वरित दोन कोन 40 अंश आणि 40 अंश असू शकतात.

म्हणून, त्रिकोणामध्ये जास्तीत जास्त एकच विशाल कोन असणे शक्य आहे.

पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार, काटकोन त्रिकोणात कर्णाचा वर्ग हा काटकोन करणार्‍या बाजूंच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असतो.

या गणितात, काटकोन करणार्‍या बाजूंच्या वर्गांची बेरीज 225 आहे.

म्हणून, कर्णाचा वर्ग = 225

कर्ण = √225 = 15

उत्तर: कर्णाची लांबी 15 असेल.

जर sin θ = 12/13 असेल, तर tan θ ची किंमत काढण्यासाठी आपण त्रिकोणमितीतील सूत्रे आणि पायथागोरसच्या प्रमेयाचा उपयोग करू शकतो.

म्हणून, जर sin θ = 12/13 असेल, तर tan θ = 12/5.

एका काटकोन त्रिकोणामध्ये (right-angled triangle), एक कोन 90 अंशांचा असतो, ज्याला काटकोन म्हणतात.

काटकोन त्रिकोण हा भूमितीमधील एक मूलभूत आकार आहे आणि त्रिकोणमितीमध्ये (trigonometry) याचा उपयोग मोठ्या प्रमाणावर होतो.

काटकोन त्रिकोणाची काही वैशिष्ट्ये:

• एका कोनाचे माप 90 अंश असते.
• 90 अंशांच्या समोरील बाजूला कर्ण (hypotenuse) म्हणतात, जी त्रिकोणाची सर्वात लांब बाजू असते.
• इतर दोन बाजू काटकोन बाजू (legs) म्हणून ओळखल्या जातात.

एका समभुज त्रिकोणाची बाजू 2a आहे, तर त्याची उंची काढण्यासाठी आपण पायथागोरसच्या प्रमेयाचा वापर करू शकतो.

समभुज त्रिकोणामध्ये, शिरोबिंदूवरून समोरच्या बाजूवर लंब काढल्यास तो बाजूला दोन समान भागांमध्ये विभाजित करतो.

पायथागोरस प्रमेय: (कर्ण)² = (पाया)² + (उंची)²

येथे,

• कर्ण = 2a (त्रिकोणाची बाजू)
• पाया = a (बाजूचा निम्मा भाग)
• उंची = h (काढायची आहे)

आता, पायथागोरस प्रमेय वापरून:

(2a)² = (a)² + h²

4a² = a² + h²

h² = 4a² - a²

h² = 3a²

h = √3a²

h = a√3

म्हणून, समभुज त्रिकोणाची उंची a√3 आहे.

एका त्रिकोणाच्या बाजू 16, 20 आणि 28 आहेत.

त्रिकोणाच्या बाजू दिलेल्या असल्यामुळे, आपण हीरोनच्या सूत्रानुसार (Heron's formula) त्याचे क्षेत्रफळ काढू शकतो.

हीरोनचे सूत्र: क्षेत्रफळ = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]

येथे, a, b, c म्हणजे त्रिकोणाच्या बाजू आहेत आणि s म्हणजे अर्ध-परि perimeter (semi-perimeter) आहे.

अर्ध-परिमिती (s) = (a + b + c) / 2

आता, या त्रिकोणासाठी:

• a = 16
• b = 20
• c = 28

1. अर्ध-परिमिती (s) काढू:

s = (16 + 20 + 28) / 2 = 64 / 2 = 32

2. हीरोनच्या सूत्रानुसार क्षेत्रफळ काढू:

क्षेत्रफळ = √[32(32-16)(32-20)(32-28)]

क्षेत्रफळ = √[32 * 16 * 12 * 4]

क्षेत्रफळ = √[24576]

क्षेत्रफळ = 156.76 (approx)

म्हणून, त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ अंदाजे 156.76 स्क्वेअर युनिट्स आहे.